1796年的一天，德國哥廷根大學，一個很有數(shù)學天賦的19歲青年吃完晚飯，開始做導師多帶帶布置給他的每天例行的三道數(shù)學題。
前兩道題在兩個小時內就順利完成了。第三道題寫在另一張小紙條上：要求只用賀規(guī)和一把沒有刻度的直尺，畫出一個正17邊形。
他感到非常吃力。時間一分一秒的過去了，第三道題竟毫無進展。這位青年絞盡腦汁，但他發(fā)現(xiàn)，自己學過的所有數(shù)學知識似乎對解開這道題都沒有任何幫助。
困難反而激起了他的斗志：我一定要把它做出來！他拿起圓規(guī)和直尺，他一邊思索一邊在紙上畫著，嘗試著用一些超常規(guī)的思路去尋求答案。
當窗口露出曙光時，青年長舒了一口氣，他終于完成了這道難題。
見到導師時，青年有些內疚和自責。他對導師說：“您給我布置的第三道題，我竟然做了整整一個通宵，我辜負了您對我的栽培……”
導師接過學生的作業(yè)一看，當即驚呆了。他用顫抖的聲音對青年說：“這是你自己做出來的嗎？”青年有些疑惑地看著導師，回答道：“是我做的。但是，我花了整整一個通宵?！?
導師請他坐下，取出圓規(guī)和直尺，在書桌上鋪開紙，讓他當著自己的面再做出一個正17邊形。
青年很快做出了一上正17邊形。導師激動地對他說：“你知不知道？你解開了一樁有兩千多年歷史的數(shù)學懸案！阿基米德沒有解決，牛頓也沒有解決，你竟然一個晚上就解出來了。你是一個真正的天才！”
原來，導師也一直想解開這道難題。那天，他是因為失誤，才將寫有這道題目的紙條交給了學生。
每當這位青年回憶起這一幕時，總是說：“如果有人告訴我，這是一道有兩千多年歷史的數(shù)學難題，我可能永遠也沒有信心將它解出來。”
這位青年就是數(shù)學王子高斯。
高斯用代數(shù)的方法解決的，他也視此為生平得意之作，還交待要把正十七邊形刻在他的墓碑上，但后來他的墓碑上并沒有刻上十七邊形，而是十七角星，因為負責刻碑的雕刻家認為，正十七邊形和圓太像了，大家一定分辨不出來。
關于正十七邊形的畫法（高斯的思路，本人并非有意剽竊^_^）：
有一個定理在這里要用到的：
若長為|a|,|b|的線段可以用幾何方法做出來，那么長為|c|的線段也能用幾何方法做出的，
其中c是方程x^2+ax+b=0的實根。
上面的定理實際上就是在有線段長度|a|和|b|的時候，做出長為sqrt(a^2-4b)的線段。
（這一步，大家會畫吧？）
而要在一個單位圓中做出正十七邊形，主要就是做出長度是cos(2pai/17)的線段。
下面我把當年高斯證明可以做出cos(2pai/17)的證明給出，同時也就給出了具體的做法。
設a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16pai/17)]>0
a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0
則有a+a1=-1,a*a1=-4,即a,a1是方程x^2+x-4=0的根，所以長為|a|和|a1|的線段可以做出。
令b=2[cos(2pai/17)+cos(8pai/17)]>0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]<0
c=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)]>0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0
則有b+b1=a b*b1=-1 c+c1=a1 c*c1=-1
同樣道理，長度是|b|,|b1|,|c|,|c1|的線段都可以做出來的。
再有2cos(2pai/17)+2cos(8pai/17)＝b [2cos(2pai/17)]*[2cos(8pai/17)]=c
這樣，2cos(2pai/17）是方程x^2-bx+c=0較大的實根,
顯然也可以做出來，并且作圖的方法上面已經(jīng)給出來了
加載中...
