現(xiàn)在數(shù)學(xué)界正在討論如何用圓規(guī)和直尺畫(huà)出一個(gè)正十八邊形只有高斯畫(huà)出了正十七邊形：有一個(gè)定理在這里要用到的：
若長(zhǎng)為|a|,|b|的線段可以用幾何方法做出來(lái)，那么長(zhǎng)為|c|的線段也能用幾何方法做出的，
其中c是方程x^2+ax+b=0的實(shí)根。
上面的定理實(shí)際上就是在有線段長(zhǎng)度|a|和|b|的時(shí)候，做出長(zhǎng)為sqrt(a^2-4b)的線段。
（這一步，大家會(huì)畫(huà)吧？）
而要在一個(gè)單位圓中做出正十七邊形，主要就是做出長(zhǎng)度是cos(2pai/17)的線段。
下面我把當(dāng)年高斯證明可以做出cos(2pai/17)的證明給出，同時(shí)也就給出了具體的做法。
設(shè)a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16pai/17)]>0
a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0
則有a+a1=-1,a*a1=-4,即a,a1是方程x^2+x-4=0的根，所以長(zhǎng)為|a|和|a1|的線段可以做出。
令b=2[cos(2pai/17)+cos(8pai/17)]>0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]<0
c=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)]>0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0
則有b+b1=a b*b1=-1 c+c1=a1 c*c1=-1
同樣道理，長(zhǎng)度是|b|,|b1|,|c|,|c1|的線段都可以做出來(lái)的。
再有2cos(2pai/17)+2cos(8pai/17)＝b [2cos(2pai/17)]*[2cos(8pai/17)]=c
這樣，2cos(2pai/17）是方程x^2-bx+c=0較大的實(shí)根,
顯然也可以做出來(lái)，并且作圖的方法上面已經(jīng)給出來(lái)了-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------在與圓O的直徑AB垂直的半徑OC上，作出OC的中點(diǎn)D，在OB上作一點(diǎn)E，使OE等于半徑的1/8；以E為圓心，ED長(zhǎng)為半徑作弧，與OA、OB分別交于F、G；以F為圓心，F(xiàn)D長(zhǎng)為半徑作弧，交OA延長(zhǎng)線于H，以G為圓心，GD長(zhǎng)為半徑作弧，交OA于I；作OB中點(diǎn)J，以線段IJ為直徑作圓，交OC于K；過(guò)K作AB的平行線，與以線段OH為直徑的圓交于遠(yuǎn)端L，過(guò)L作OC的平行線，與圓O交于M。弧AM就是圓O的1/17。
依次連結(jié)各點(diǎn)就行了-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------設(shè)你要畫(huà)的正17邊形的邊長(zhǎng)為d，它的外接圓的半徑為R。
則d和R的關(guān)系是Sin(360度/(17*2))=d/(2R)
因?yàn)椋赫?7邊形的邊對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為360/17,正17邊形的一條邊和其兩個(gè)端點(diǎn)與圓心連接的半徑成為一個(gè)等邊三角形；
然后從圓心作出一條垂線到邊上，就能得出一個(gè)直角三角形，圓心的那個(gè)角是圓心角的一半，即360度/(17*2)，對(duì)邊是d/2,斜邊是R，所以得出Sin(360度/(17*2))=d/(2R)
最后，根據(jù)該公式，如果你想畫(huà)出一個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的正17邊形，則把d=1代入公式，得出R的值。
1、先畫(huà)一個(gè)R半徑的圓；
2、用圓規(guī)支腳支在圓周的一個(gè)點(diǎn)上，取d為半徑，交圓周于一點(diǎn)，然后把這兩點(diǎn)連起來(lái)，就是17邊形的一條邊了；
3、如此類(lèi)推，把17條邊畫(huà)完就是一個(gè)正17邊形了----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------步驟一：
給一圓O，作兩垂直的直徑OA、OB，
作C點(diǎn)使OC＝1/4OB，
作D點(diǎn)使∠OCD＝1/4∠OCA
作AO延長(zhǎng)線上E點(diǎn)使得∠DCE＝45度
步驟二：
作AE中點(diǎn)M，并以M為圓心作一圓過(guò)A點(diǎn)，
此圓交OB于F點(diǎn)，再以D為圓心，作一圓
過(guò)F點(diǎn)，此圓交直線OA于G4和G6兩點(diǎn)。
步驟三：
過(guò)G4作OA垂直線交圓O于P4，
過(guò)G6作OA垂直線交圓O于P6，
則以圓O為基準(zhǔn)圓，A為正十七邊形之第一頂點(diǎn)，
P4為第四頂點(diǎn)，P6為第六頂點(diǎn)。
以1/2弧P4P6為半徑，即可在此圓上截出正十七邊形的所有頂點(diǎn)。 ---------蠻不錯(cuò)的 ??！
加載中...
